मान लीजिए f: [0, 2] to R एक दो बार अवकलनीय फल | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $\phi(x) = f(x) + f(2 - x)$।$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\phi'(x) = f'(x) - f'(2 - x)$ प्राप्त होता है।चूंकि सभी $x \in (0, 2)$

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$(0, 1)$ पर ह्रासमान और $(1, 2)$ पर वर्धमान

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(C) दिया गया है $\phi(x) = f(x) + f(2 - x)$।$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\phi'(x) = f'(x) - f'(2 - x)$ प्राप्त होता है।चूंकि सभी $x \in (0, 2)$ के लिए $f''(x) > 0$ है,इसलिए अवकलज $f'(x)$ अंतराल $(0, 2)$ पर एक निरंतर वर्धमान फलन है।स्थिति $I$: यदि $x > 1$ है,तो $x > 2 - x$ होगा। चूंकि $f'(x)$ निरंतर वर्धमान है,इसलिए $f'(x) > f'(2 - x)$ होगा,जिसका अर्थ है कि $\phi'(x) = f'(x) - f'(2 - x) > 0$ है। अतः,$\phi(x)$ अंतराल $(1, 2)$ पर वर्धमान है।स्थिति $II$: यदि $x इसलिए,$\phi(x)$ अंतराल $(0, 1)$ पर ह्रासमान और $(1, 2)$ पर वर्धमान है।

मान लीजिए $f: [0, 2] \to R$ एक दो बार अवकलनीय फलन है,इस प्रकार कि सभी $x \in (0, 2)$ के लिए $f''(x) > 0$ है। यदि $\phi(x) = f(x) + f(2 - x)$ है,तो $\phi$ है

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सिद्ध कीजिए कि फलन $f(x)=x^{2}-x+1$ अंतराल $(-1,1)$ में न तो निरंतर वर्धमान है और न ही निरंतर ह्रासमान है।

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